这是苹果，那是桃子！——世间万物是可以分类的

• 朴素集合论和罗素悖论
• ZFC公理系统
• 映射
• 集合的笛卡尔积和关系

一、二、三！——学会数数

• 集合的势
• 皮亚诺公理和自然数
• 整数和有理数

一加一等于二！——运算带来新的结构

• 群及其性质
• 环及其性质
• 域及其性质

从过去到未来我一直都在！——连续地描述世界

• 实数的定义和连续统假设
• 序列的极限
• 几个等价的完备性定理

小明的匀速跑！——认识最简单的数量关系

• 模和线性空间
• 线性映射
• 代数及其性质

我长高啦！——度量世界

• 双线性映射和内积空间
• 代数和度量空间
• 勒贝格测度和积分

这里和那里！——认识简单的几何性质

• 线性赋范空间中函数的极限和连续性
• 拓扑空间
• 欧氏空间中的几何学

地面是平的！——学习处理复杂的数量关系

• 线性赋范空间中的微分学
• 局部欧氏空间和微分流形
• 流形上微分形式的积分